Caculus Review
Calculus 微积分复习：
Text Book: 《高等微积分教程》上下册.清华大学出版社
基础知识
第一章 实数列
Definition 1 数集A的上界、下界；有界的、无界的；上确界sup、下确界inf
Definition 2 数列\(\{a_n\}\)，如果 \(\forall\epsilon>0\),\(\exists N\in \mathbb{N}\),使得当\(n>N\)时，就有\(|a_n-A|<\epsilon\),则称数列\(\{a_n\}\)有极限A,也称\(\{a_n\}\)收敛于A，记为$_{n }{a_n}=A $
收敛数列的性质：
若数列收敛，则极限唯一
在一个收敛数列中任意添加或删去有限项，或者改变有限项的值，不会改变该数列的收敛性与极限值。
若数列收敛于A，则它的任何子列都收敛于A
收敛数列一定有界
极限的保序性：若a数列收敛于A，b数列收敛于B，若A>B，则存在N，使得当n>N时，就有\(a_n>b_n\)。
极限的四则运算：
夹逼原理（求极限）
单调数列
单调收敛定理：(1)单调递增且有上界的数列必收敛。(2)单调递减且有下界的数列必收敛。`
Stolz定理：(1)设数列{\(b_n\)}严格单调递增且\(b_n\rightarrow +\infty\)。如果\(\lim_{n\rightarrow \infty} \frac {a_n-a_{n-1}}{b_n-b{n-1}}=A\)，则\(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{b_n}=A\)；(2)设数列{\(b_n\)}严格单调递减且\(\lim_{n\rightarrow\infty}b_n=\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0\)。如果\(\lim_{n\rightarrow \infty} \frac {a_n-a_{n-1}}{b_n-b{n-1}}=A\)，则\(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{b_n}=A\)；
欧拉常数：\(\lim_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}-lnn)=\gamma\)，γ=0.577...为欧拉常数
柯西收敛原理：数列\(\{a_n\}\)，如果 \(\forall\epsilon>0\),\(\exists N\in \mathbb{N}\),使得对所有的\(n,m>N\)，都有\(|a_n-a_m|<\epsilon\)，称该数列为柯西列。数列收敛的充分必要条件是其为柯西列。
第二章 函数
Definition：对于每个x，都有唯一的y与之对应，记为y=f(x)，把这个对应规则称为一个从X到Y的映射，记为\(f:X\rightarrow Y\)。X称之为定义域，Y称为值域
邻域；空心邻域
函数极限的保序性
夹逼原理：若\(f(x)\le g(x)\le h(x),x\in U(x_0,\rho)\)，如果\(\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_0}h(x)=A\)，则\(\lim_{x\rightarrow x_0}g(x)=A\)。如果
复合函数极限
函数极限的柯西收敛原理
(1)f(x)是g(x)的高阶无穷小量：\(\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0\)，记作 \(f(x)=o(g(x))\ (x\rightarrow x_0)\)
(2)f(x)是g(x)的同阶无穷小量：\(\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=c,\ c\ne 0\)
(3)f(x)是g(x)的等价无穷小量：\(\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=1\)，记作 \(f(x)\sim o(g(x))\ (x\rightarrow x_0)\)
(4)f(x)是k阶无穷小量：\(\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{(x-x_0)^k}=c\)
Note: 无穷大量的定义同前三条。
无穷小量间的等价关系：
(1)\(sinx\sim x\)，\(tanx\sim x\)
(2)\(1-cosx\sim \frac{1}{2}x^2\)
(3)\(ln(1+x)\sim x\)
(4)\(e^x-1\sim x, a^x-1\sim xlna(a>0)\)
(5)\((1+x)^n-1\sim ax\)
若 \(\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)\)，则称f在点 \(x_0\)处连续。
若\(\lim_{x\rightarrow x_0^+}f(x)=f(x_0)\)，则称f在点 \(x_0\)处右连续。
若\(\lim_{x\rightarrow x_0^-}f(x)=f(x_0)\)，则称f在点 \(x_0\)处右连续。
f在点 \(x_0\)处连续的充分必要条件是f在点 \(x_0\)处既右连续又左连续。
f在点 \(x_0\)处不连续，则称间断。三种情形：
1）可去间断点：极限存在，但在该点处没有定义或者\(\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)\ne f(x_0)\)，即可以令该点的值等于极限，变为一个连续点
2）第一类间断点：左右极限都存在，但二者不相等。也包括可去间断点。
3）第二类间断点：至少有一个单侧极限不存在。
介值定理：设 \(f\in C[a,b]\)（f在闭区间上连续），\(f(a)\ne f(b)\)，则对介于f(a)与f(b)之间的每个数c，都存在 \(\xi\in (a,b)\)，使 \(f(\xi)=c\)
闭区间上连续函数的有界性定理与最大最小值定理
第三章 函数的导数
导数的定义：设函数 \(f\)在 \(x_0\)点的某个领域内定义，如果 \(\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0)+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\)存在，则称 \(f\)在 \(x_0\)点可导，称这个极限值为 \(f\)在 \(x_0\)点的导数，记作 \(f'(x_0)\)。
可导则连续
右导数
左导数
导数存在的充分必要条件是左导数和右导数存在且相等
微分的定义：设函数 \(f\)在 \(x_0\)点的某个领域内定义，如果当自变量的增量 \(\Delta x\)充分小时，相应的函数值的增量 \(\Delta f(x_0)=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\)可以表示为：\(\Delta f(x_0)=a\Delta x+o(\Delta x)(\Delta x \to \ 0)\)，其中 \(a\)为常数，则称 \(f\)在 \(x_0\)点可微，并称 \(df(x_0)=a\cdot\Delta x\)为\(f\)在 \(x_0\)点处的微分。
可微的充要条件是可导
求导法则：
- 导数的四则运算
- 复合函数求导数的链式法则：\(h'(x_0)=f'(\varphi(x_0))\varphi'(x_0)\)
- 反函数求导法则：设 \(f\)在 \((a,b)\)内严格单调且连续，\(x_0\in (a,b)\)，\(f'(x_0)\ne 0\)，则反函数 \(x=f^{-1}(y)\)在 \(y_0=f(x_0)\)处可导，并且 \((f^{-1})'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)}\)。
常见函数的导数
隐函数求导：对于 \(F(x,y)=0\)方程两边同时对x求导，解出 \(y'\)即可。
由参数方程形成的函数的求导方法：\(\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx}=\frac{dy}{dt}\frac{1}{\frac{dx}{dt}}=\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}=\frac{y'(t)}{x'(t)}\)
高阶导数：若 \(f\)在 \((a,b)\)上n阶可导，则称 \(f\)在 \((a,b)\)上n阶可导；而当 \(f^{(n)}(x)在（a,b）\)上连续时，称 \(f\)在 \((a,b)\)上为n阶连续可导（连续可微）。
- \((f\cdot g)^{(n)}(x)=\sum^{n}_{k=0}C_{n}^{k}f^{(k)}(x)g^{(n-k)}(x)\)，莱布尼茨公式
第四章 导数应用
局部极值的定义：设函数\(f\)在点 \(x_0\)的某个邻域中有定义，如果$>0 $使得当 \(|x-x_0|<\rho\)时，有 \(f(x)\ge f(x_0)\ (f(x)\le f(x_0))\)，则称\(f\)在点 \(x_0\)处取得（局部）极小值（极大值）
费马定理：设 \(x_0\)是函数 \(f\)的一个极值点，如果 \(f'(x_0)\)存在，则 \(f'(x_0)=0\)
罗尔定理：设函数\(f\)在闭区间\([a,b]\)上连续，在开区间\((a,b)\)内可导。如果\(f(a)=f(b)\)，则存在\(\epsilon \in (a,b)\)使得\(f'(\epsilon)=0\)。
柯西中值定理：设函数f, g都在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，并且在(a,b)中 \(g'(x)\ne 0\)，则存在 \(\epsilon\in (a,b)\)，使得：\(\frac{f'(\epsilon)}{g'(\epsilon)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\)
拉格朗日中值定理：是柯西中值定理中 \(g(x)=x\)的一种特殊形式。
几何意义：必存在一点使得曲线在该点处的切线与函数两端点的连线平行
拉格朗日中值公式： \(f(x)-f(x_0)=f'(\epsilon)(x-x_0)，\epsilon\in (x_0,x)\)，(可用于证明不等式)
洛必达法则： 分子分母同时求导
泰勒公式：设函数 \(f\)在点 \(x_0\)处有n阶导数，则当 \(x\rightarrow x_0\)时，\(f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+o((x-x_0)^n)\)
其中，\(R_n(x)=o((x-x_0)^n)\)，称为皮亚诺余项形式
设函数 \(f\)在区间 \([a,b]\)上n+1阶可导，\(x_0\)与\(x\)为\([a,b]\)中任意两点，\(P_n\)为 \(f\)在 \(x_0\) 处的 n 阶泰勒多项式，则存在 \(\epsilon\) 介于 \(x_0\) 与 \(x\) 之间，使得： \[ R_n(x)=f(x)-P_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\epsilon)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} \]
设设函数 \(f\)在点 \(x_0\)处有n阶导数，并且存在 n 阶多项式 \(Q_n(x)\)，使得： \[ f(x)= Q_n(x)+O((x-x_0)^N)(x\rightarrow x_0) \] 则\(Q_n(x)\)即为 \(f\)在点 \(x_0\)处有n阶泰勒多项式\(P_n(x)\)
难以求导的可以化为几个简单函数的复合，分别泰勒展开，然后带入，忽略高阶项
泰勒公式可以用于求近似值、无穷小量阶的确定与求不定型极限以及有关函数机器导数的等式与不等式证明等问题中的应用。